Wzór na objętość graniastosłupa to Pp*H tak więc liczymy pola podstawy. Przy trójkącie równoramiennym korzystamy z wzroku P= [latex] frac{ a^{2} sqrt{3} }{4} [/latex] po podstawieniu mamy 3²*√3:4=9√3:4 Tak więc objętość takiego graniostosłupa to 9√3:4*5=45√3:4 cm³ Przy graniatosłupie czworokątnym sprawa jest jeszcze prostsza Pole podstawy ty po prostu 3² mnożymy przez wysokość równą 5cm i otrzymujemy, że objętość to 45cm² Teraz pola powierzchni. Mamy podstawy policzone teraz wystarczy pomnożyć je razy dwa i i policzyć ściany boczne w obu przypadkach pole ścian bocznych to 5cm*3cm=15cm² Tylko, że w trójkątym jest ich 3, a czworokątnym 4. Zacznijmy od pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Dwie podstawy to 9√3:2 dodajemy do tego trzy ściany czyli 45. Otrzymujemy 9√3:2+45 cm² Teraz z czworokątym bardzo podobnie. 45*2+4*15=90+60=150cm² Zad. 2 Zauważmy, że w takim ostrosłupie zawsze wysokość pada prostopadle do podstawy, jeśli krawędź boczna do podstawy pada pod kątem 60 stopni to krawędź boczna musi padać pod kątem 30stopni do wysokości, gdyż 90+60=150 180-150=30 Mamy tutaj doczynienia z popularnym trójkątem 90, 60, 30stopni. W takim boku oznaczając bok naprzeciw kąta 30stopni a to bok naprzeciw kąta 60stopni bedzie rowny a√3, przeciwprostokątna równa 2a. Tutaj jednak bok naprzeciw 90stopni oznaczono, za pomocą zmiennej a, żeby otrzymać bok naprzeciw kąta o miarze 30stopni wystarzy podzielić a na dwa i otrzymać [latex] frac{a}{2} [/latex]. Wysokość jest naprzeciw kąta 60stopni tak więc jej miara będzie równa [latex] frac{a sqrt{3} }{2} [/latex]. Teraz można liczyć objętość. W takim ostrosłupie wysokość bryły opada w środek podstwy. Tak więc [latex] frac{a}{2} [/latex] jest połową przekątnej, zatem przekątna jest równa a. Jak wiemy przekątna w kwadracie jest to bok przemnożony przez √2. Jeśli przekątna wynosi a to bok musi być równy a/√2. Po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy [latex] frac{a sqrt{2} }{2} [/latex] tak więc pole tego kwadratu musi być równe [latex] frac{2a^{2} }{4} [/latex] Wyskość wynosi [latex] frac{a sqrt{3} }{2} [/latex]. Mnożymy i otrzymujemy. [latex] frac{2a^{3 sqrt{3} } }{8} [/latex]. Wzór na objętość ostrosłupa to 1/3*Pp*H my policzyliśmy Pp*H, tak więc należy jeszcze podzielić to przez 3 i mamy [latex] frac{2a^{3 sqrt{3} } }{24} [/latex] po wyrzuceniu tej dwójki z licznika dostaniemy [latex] frac{a^{3 sqrt{3} } }{12} [/latex]. Tak więc poprawną odpowiedzą jest odp B.
