Zadanie 1.
[latex]Dane:[/latex]
[latex]v_0 = 7,91 frac{km}{s} = 7910 frac{m}{s}[/latex]
[latex]g = 9,81 frac{m}{s^2}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]h[/latex]
To zadanie można zrobić dwoma sposobami, na początku ten łatwiejszy, w którym skorzystamy z zasady zachowania energii. Polega to na tym, że energia początkowa równa się energii końcowej.
Na początku kulka miała wyłącznie prędkość początkową [latex]v_0[/latex], tak więc posiadała energię kinetyczną [latex]E_k[/latex]. Gdy piłka się wznosiła, to traciła prędkość ze względu na to, że działała grawitacja, która ją spowalniała, ale zyskiwała wysokość, tak więc na końcu kulka miała maksymalną wysokość, a co za tym idzie maksymalną energię potencjalną [latex]E_p[/latex].
Łatwiej można by to było powiedzieć, że wartość początkowej energii kinetycznej [latex]E_k[/latex] z czasem została zamieniona na tą samą wartość energii potencjalnej [latex]E_p[/latex]. Tak więc wniosek:
[latex]E_k = E_p[/latex]
Energię kinetyczną wyrażamy za pomocą wzoru:
[latex]E_k = frac{mv_0^2}{2}[/latex]
A energię potencjalną:
[latex]E_p = mgh[/latex]
Podstawiając otrzymamy:
[latex]frac{mv_0^2}{2} = mgh[/latex]
Skracamy masy i przekształcamy równanie, tak aby otrzymać wzór na wysokość:[latex]h = frac{v_0^2}{2g}[/latex]
Wystarczy podstawić i gotowe.
Teraz trochę dłuższy sposób, nie koniecznie trudniejszy.
W rzucie pionowym w górę mamy do czynienia z ruchem jednostajnie opóźnionym. Drogę (wysokość [latex]h[/latex]) w takim ruchu opisuje się równaniem:
[latex]h = v_0t - frac{gt^2}{2}[/latex]
Jako, że nie znamy czasu będziemy potrzebowali jeszcze jednego równania do rozwiązania tego zadania. Prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym wynosi:
[latex]v = v_0 - gt[/latex]
[latex]v[/latex], to prędkość końcowa. Na końcu kulka miała prędkość równą [latex]0[/latex]. Tak więc nasze równanie będzie wyglądało:
[latex]0 = v_0 - gt[/latex]
Przenosimy na drugą stronę i przekształcamy tak, aby uzyskać czas lotu kulki:
[latex]gt = v_0[/latex]
[latex]t = frac{v_0}{g}[/latex]
Podstawiamy za [latex]v_0[/latex] i [latex]g[/latex] znane wartości i otrzymujemy czas, jaki kulka leciała. Następnie czas podstawiamy do równania na wysokość:
[latex]h = v_0t - frac{gt^2}{2}[/latex]
Zadanie gotowe.
Zadanie 2.
[latex]Dane:[/latex]
[latex]v_0 = 5595 frac{m}{s}[/latex]
[latex]g = 9,81 frac{m}{s^2}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]h[/latex]
Zadanie identyczne do zadania pierwszego, zmienia się tylko wartość prędkości początkowej.
Zadanie 3.
(mając otwarty załącznik do zadania 3. czytaj odpowiedź)
[latex]Dane:[/latex]
[latex]r = 2 cdot 10^{-7} m[/latex]
[latex]F_g = 100 N[/latex]
[latex]g = 9,81 frac{m}{s^2}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]E_k[/latex]
Gdy satelita porusza się po orbicie, to planeta chce ją przyciągnąć do siebie, działając na nią siłą grawitacji [latex]F_g[/latex], ale żeby satelita nie spadła na planetę tylko poruszała się po orbicie z drugiej strony musi działać na nią siła odśrodkowa [latex]F_{od}[/latex] o tej samej wartości, czyli:
[latex]F_g = F_{od}[/latex]
Zadaniem siły odśrodkowej jest odpychanie satelity od planety w taki sposób, aby stale mogła poruszać się po orbicie.
Nie znamy masy tej satelity, ale znamy wartość siły grawitacji [latex]F_g[/latex], jaka działa na tę satelitę. Siłę grawitacji opisujemy, jako iloczyn masy i przyspieszenia grawitacyjnego [latex]g[/latex]:
[latex]F_g = mg[/latex]
Przekształcamy wzór, tak aby móc obliczyć masę:
[latex]m = frac{F_g}{g}[/latex]
Podstawiamy i otrzymujemy masę satelity.
Z początku zadania wiemy, że wartość siły grawitacji jest równa wartości siły odśrodkowej. Siłę odśrodkową opisuje wzór:
[latex]F_{od} = frac{mv^2}{r}[/latex]
Tak więc możemy napisać, że:
[latex]mg = frac{mv^2}{r}[/latex]
Skracamy masy i przekształcamy równanie, by obliczyć prędkość [latex]v[/latex]:
[latex]v = sqrt{gr}[/latex]
Ponownie podstawiamy i otrzymujemy prędkość, z jaką porusza się satelita po orbicie.
Do obliczenia zostało nam tylko policzenie energii kinetycznej satelity [latex]E_k[/latex]. Energię kinetyczną wyrażamy za pomocą wzoru:
[latex]E_k = frac{mv^2}{2}[/latex]
Podstawiamy wcześniej obliczoną masę i prędkość. Zadanie gotowe.
