Zadanie 4.
[latex]Dane:[/latex]
[latex]m = 1 t = 1 000 kg[/latex]
[latex]p = 15 000 frac{kg cdot m}{s}[/latex]
[latex]a)[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]v[/latex]
Pęd to iloczyn masy [latex]m[/latex] i prędkości [latex]v[/latex]:
[latex]p = mv[/latex]
Przekształcamy wzór tak, aby obliczyć prędkość:
[latex]v = frac{p}{m}[/latex]
Wynik wyjdzie w [latex]frac{m}{s}[/latex], a my musimy podać go w [latex]frac{km}{h}[/latex]. W tym celu wynik należy pomnożyć przez [latex]3 600[/latex] i podzielić przez [latex]1 000[/latex].
[latex]b)[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]E_k[/latex]
Energię kinetyczną wyraża się wzorem:
[latex]E_k = frac{mv^2}{2}[/latex]
Podstawiamy dane za masę i prędkość (podaną w [latex]frac{m}{s}[/latex]). Gotowe.
[latex]c)[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]F = 2,5 kN = 2 500 N[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]s[/latex]
Jeżeli działa jakaś siła [latex]vec F[/latex], to z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że na to ciało działa przyspieszenie [latex]vec a[/latex]. Siłę wyrażamy za pomocą wzoru:
[latex]F = ma[/latex]
Przekształcamy wzór tak, aby otrzymać przyspieszenie:
[latex]a = frac{F}{m}[/latex]
Podstawiamy i mamy przyspieszenie samochodu.
Jeżeli jest przyspieszenie, to samochód porusza się ruchem przyspieszonym. Z treści zadania wiemy, że samochód porusza się ruchem jednostajnym, a działające przyspieszenie zmienia ten ruch na jednostajnie przyspieszony. Drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym wyraża się wzorem:
[latex]s = v_0t + frac{at^2}{2}[/latex]
Prędkość początkowa [latex]v_0[/latex] jest równa [latex]0[/latex], tak więc wzór będzie wyglądał:
[latex]s = frac{at^2}{2}[/latex]
Czas wyrażamy wzorem:
[latex]t = frac{v}{a}[/latex]
Tak więc podstawiając za czas [latex]t[/latex] podane wyżej równanie otrzymamy:
[latex]s = frac{a(frac{v}{a})^2}{2}[/latex]
[latex]s = frac{afrac{v^2}{a^2}}{2}[/latex]
[latex]s = frac{frac{v^2}{a}}{2}[/latex]
[latex]s = frac{v^2}{2a}[/latex]
Podstawiamy i zadanie gotowe.
Zadanie 5.
(czytając odpowiedź otwórz załącznik do zadania)
[latex]Dane:[/latex]
[latex]alpha = 30^{circ}[/latex]
[latex]s = 1,5 m[/latex]
[latex]m = 10 kg[/latex]
[latex]a)[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]v = 2 frac{m}{s}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]Delta E[/latex]
Stratą energii będzie różnica energii końcowej i energii początkowej. Na początku ciało miało energię potencjalną [latex]E_p[/latex], ponieważ znajdowało się na pewnej wysokości [latex]h[/latex] nad podłożem równi. Gdy ciało się zsuwało traciło energię potencjalną, której tylko część poszła w energię kinetyczną [latex]E_k[/latex] ciała, czyli w prędkość, a pozostała część została stracona.
Stracona energia wynika z działania siły tarcia [latex]F_T[/latex], która działa przeciwnie do kierunku ruchu.
Tak więc różnicą straconej energii będzie różnica energii kinetycznej i potencjalnej:
[latex]Delta = |E_k - E_p|[/latex]
Energię kinetyczną wyrażamy za pomocą wzoru:
[latex]E_k = frac{mv^2}{2}[/latex]
Podstawiamy za masę i prędkość dane z zadania i mamy obliczoną energię kinetyczną.
Energię potencjalną wyrażamy za pomocą wzoru:
[latex]E_p = mgh[/latex]
Wysokość [latex]h[/latex] obliczymy z funkcji trygonometrycznych. Przeciwprostokątną jest nasza droga [latex]s[/latex], po której zsuwa się ciało, a przyprostokątną jest wysokość [latex]h[/latex], tak więc wykorzystamy funkcję [latex]sinus[/latex]:
[latex]sin 30^{circ} = frac{h}{s}[/latex]
[latex]h = s cdot sin 30^{circ}[/latex]
[latex]sin 30^{circ} = frac{1}{2}[/latex]
Podstawiamy wartości i mamy wysokość równi. Mając wysokość równi [latex]h[/latex] możemy obliczyć energię potencjalną [latex]E_p[/latex]:
[latex]E_p = mgh[/latex]
Gdy obliczymy wartości energii kinetycznej i potencjalnej, będziemy mogli ustalić stratę energii [latex]Delta E[/latex]:
[latex]Delta E = |E_k - E_p|[/latex]
Podpunkt gotowy.
[latex]b)[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]F[/latex]
Siłą, która powoduje, że ciało zsuwa się z równi jest składowa równoległa siły grawitacji - siła [latex]F_{||}[/latex]. Przeciwnie do kierunku ruchu działa siła tarcia [latex]F_T[/latex], która powoduje to, że ciało hamuje. Straty energii, które obliczyliśmy w podpunkcie a), jak napisałem, poszły na energię kinetyczną i siłę tarcia. Siła tarcia musiała wykonać pracę [latex]W[/latex], aby spowolnić to ciało do prędkości [latex]2 frac{m}{s}[/latex]. Praca, to zmiana energii:
[latex]W = Delta E[/latex]
Pracę wyrażamy także, za pomocą wzoru:
[latex]W = Fs[/latex]
Gdy jedną zmienną możemy wyrazić za pomocą dwóch wzorów, to te wzory możemy do siebie przyrównać:
[latex]Fs = Delta E[/latex]
Przekształcamy, by obliczyć siłę oporu [latex]F[/latex]:
[latex]F = frac{Delta E}{s}[/latex]
Podstawiamy dane i zadanie zrobione.
