[latex]Dane:[/latex]
[latex]m_{alpha} = 4m_p[/latex]
[latex]q_p = e[/latex]
[latex]q_{alpha} = 2e[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]frac{T_p}{T_{alpha}}[/latex]
W polu magnetycznym istnieje siła Lorentza [latex]F_L[/latex], którą opisuje się wzorem:
[latex]F_L = qvBsin{alpha}[/latex]
[latex]sin{alpha}[/latex], to kąt między ładunkiem a liniami pola magnetycznego [latex]B[/latex]. Jeżeli ładunki wpadają prostopadle do tych linii, to ich kąt wynosi [latex]90^{circ}[/latex], a [latex]sin(90^{circ}) = 1[/latex].
Zatem możemy zapisać, że siła Lorentza dla protonu i cząstki alfa jest maksymalna i wynosi:
[latex]F_L = qvB[/latex]
[latex]q[/latex], to ładunek. Tak więc zamiast pisać [latex]q[/latex] będziemy pisali [latex]e[/latex], jako ładunek elementarny, którym będziemy się posługiwali w zadaniu:
[latex]F_L = evB[/latex]
Nie znamy prędkości [latex]v[/latex], więc obliczymy ją przyrównując siłę Lorentza do siły dośrodkowej [latex]F_d[/latex].
Robimy tak dlatego, że siła Lorentza powoduje, że ładunek zaczyna poruszać się po okręgu, a główną siłą w przyrodzie powodującą ruch po okręgu jest siła dośrodkowa [latex]F_d[/latex], która wyrażamy wzorem:
[latex]F_d = frac{mv^2}{R}[/latex]
Skoro siła Lorentza powoduje ruch po okręgu, to możemy zapisać:
[latex]F_L = F_d[/latex]
[latex]evB = frac{mv^2}{R}[/latex]
[latex]eB = frac{mv}{R}[/latex]
[latex]v = frac{eBR}{m}[/latex]
Okres [latex]T[/latex] w ruchu po okręgu wynosi:
[latex]T = frac{2 pi R}{v}[/latex]
Tak więc możemy obliczyć okres dla protonu [latex]T_p[/latex] i cząstki alfa [latex]T_{alpha}[/latex].
Dla protonu okres będzie równy:
[latex]T_p = frac{2 pi R}{frac{eBR}{m_p}}[/latex]
[latex]T_p = 2 pi R frac{m_p}{eBR}[/latex]
[latex]T_p = frac{2 pi m_p}{eB}[/latex]
Natomiast dla cząstki alfa:
[latex]T_{alpha} = frac{2 pi m_{alpha}}{q_{alpha}B}[/latex]
Wiemy, że masa cząstki alfa [latex]m_{alpha}[/latex] jest czterokrotnie większa od masy protonu [latex]m_p[/latex], a ładunek cząstki alfa [latex]q_{alpha}[/latex] dwa razy większy od ładunku protonu:
[latex]T_{alpha} = frac{2 pi 4m_p}{2eB}[/latex]
[latex]T_{alpha} = frac{2 pi 2m_p}{eB}[/latex]
Żeby wyznaczyć ile razy okres jednej cząski jest większy od drugiej, będziemy musieli stworzyć stosunek tych okresów, czyli po prostu podzielić jeden okres przez drugi. Nie ma to znaczenia, czy podzielimy okres protonu przez okres cząstki alfa: [latex]frac{T_p}{T_{alpha}}[/latex], czy na odwrót. Wynik wyjdzie ten sam:
[latex]frac{T_p}{T_{alpha}} = frac{frac{2 pi m_p}{eB}}{frac{2 pi 2m_p}{eB}}[/latex]
[latex]frac{T_p}{T_{alpha}} = frac{2 pi m_p}{eB} frac{eB}{2 pi 2m_p}[/latex]
[latex]frac{T_p}{T_{alpha}} = frac{1}{2}[/latex]
[latex]T_p = frac{1}{2}T_{alpha}[/latex]
