[latex]Dane:[/latex] [latex]y_0 = 17 m[/latex] [latex]v_0 = 40 frac{m}{s}[/latex] [latex]{alpha} = 53^{circ}[/latex] [latex]y = 33 m[/latex] [latex]g = 9,81 frac{m}{s^2}[/latex] [latex]Szukane:[/latex] [latex]t, a_n, a_s[/latex] (czytając odpowiedź otwórz pierwszy załącznik do zadania) Gdy ciało rzucamy pod kątem, to na wektor prędkości początkowej [latex]v_0[/latex] składają się dwie prędkości: prędkość pozioma [latex]v_{0x}[/latex], działająca w osi [latex]x[/latex] oraz prędkość pionowa [latex]v_{0y}[/latex], działająca w osi [latex]y[/latex]. Ciało lecąc w górę porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, to znaczy, że w każdej sekundzie ruchu prędkość tego ciała zmienia się z taką samą wartością. Dzieje się tak dlatego, że grawitacja próbuje ściągnąć to ciało na ziemię, ale zanim je ściągnie musi je spowolnić do zera. Gdy ma prędkość równą zero, to znaczy, że osiągnęło maksymalną wysokość. Drogę (wysokość) w takim ruchu z prędkością początkową opisuje się równaniem: [latex]s = v_0t - frac{gt^2}{2}[/latex] Mamy jeszcze podaną wysokość początkową, tak więc zapiszemy (zamienię [latex]s[/latex] z literą [latex]y[/latex] z tej racji, że tak nazywa się oś pionowa, dla której ta droga jest wyrażona): [latex]y = y_0 + v_0t - frac{gt^2}{2}[/latex] Aby obliczyć czas, po którym ciało osiągnie wysokość [latex]33 m[/latex] będziemy musieli obliczyć prędkość początkową w osi [latex]y[/latex]. Musimy ją policzyć dlatego, że wysokość także liczymy w osi [latex]y[/latex] z tego powodu nie możemy użyć po prostu prędkości początkowej [latex]v_0[/latex]. Pionową prędkość początkową obliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznej, mianowicie z funkcji [latex]sinus[/latex]: [latex]v_{0y} = v_0 sin{alpha}[/latex] Podstawiamy dane i mamy prędkość początkową [latex]v_{0y}[/latex]. Tę prędkość podstawiamy do wzoru na drogę: [latex]y = y_0 + v_{0y}t - frac{gt^2}{2}[/latex] Podstawiając za [latex]y[/latex], [latex]y_0[/latex], [latex]v_{0y}[/latex] i [latex]g[/latex] znane wartości otrzymamy funkcję kwadratową: [latex]-frac{gt^2}{2} + v_{0y}t +y_0 - y = 0[/latex] Następnie korzystamy z delty: [latex]Delta = b^2 - 4ac[/latex] I obliczamy miejsca zerowe: [latex]t_1 = frac{-b + sqrt{Delta}}{2a}[/latex] [latex]t_2 = frac{-b - sqrt{Delta}}{2a}[/latex] Wyjdą dwa wyniki, które są poprawne. W [latex]t_1[/latex] powinniśmy otrzymać około [latex]0,5 s[/latex], a w [latex]t_2[/latex] około [latex]5,9 s[/latex]. Tak jak wcześniej napisałem oba wyniki są poprawne. Dlatego, że ciało lecąc do góry osiągnie wysokość [latex]33 m[/latex] po czasie pół sekundy, a spadając osiągnie tą samą wysokość po czasie [latex]approx 5,9 s[/latex]. Znając czas lotu w obu przypadkach możemy obliczyć, jakie były przyspieszenia normalne i styczne. (otwórz drugi załącznik do zadania) Przyspieszenie styczne [latex]a_s[/latex] to iloraz prędkości [latex]v[/latex] i czasu [latex]t[/latex]. My chcemy obliczyć, jakie było przyspieszenie styczne w chwili, gdy ciało znajdowało się na wysokości [latex]33 m[/latex]. Mamy czasy, ale nie wiemy, jakie prędkości wtedy miało to ciało. Aby obliczyć prędkość [latex]v[/latex] skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa: [latex]v = sqrt{v_x^2 + v_y^2}[/latex] Nie znamy prędkości [latex]v_y[/latex], natomiast znamy prędkość [latex]v_x[/latex]. Zakładamy, że w poziome nie ma żadnych oporów ruchu, tak więc prędkość pozioma pozostaje cały czas taka sama. Na początku prędkość poziomą wyrażaliśmy poprzez [latex]v_{0x}[/latex], a następnie przez [latex]v_x[/latex]. Jak już wcześniej napisałem prędkość pozioma jest stała, tak więc: [latex]v_{0x} = v_x[/latex] Obliczamy prędkość poziomą [latex]v_{0x}[/latex] korzystając z funkcji cosinus: [latex]v_{0x} = v_0cos{alpha}[/latex] Natomiast prędkość [latex]v_y[/latex] policzymy ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym: [latex]v_y = v_{0y} - gt[/latex] Podstawiamy dane i mamy prędkości [latex]v_x[/latex] i [latex]v_y[/latex]. Te wartości podstawiamy do wzoru na prędkość [latex]v[/latex]: [latex]v = sqrt{v_x^2 + v_y^2}[/latex] Jako, że torem lotu jest parabola, to prędkość w czasie [latex]t_1[/latex] będzie taka sama, jak prędkość w czasie [latex]t_2[/latex]. Jak już było napisane przyspieszenie styczne [latex]a_s[/latex], to iloraz prędkości [latex]v[/latex] i czasu [latex]t[/latex]: [latex]a_s = frac{v}{t}[/latex] Znając prędkość możemy obliczyć przyspieszenie styczne w czasie [latex]t_1[/latex] i [latex]t_2[/latex]. Skoro prędkości były takie same, tak i przyspieszenia będą miały tę samą wartość. Tak więc wystarczy obliczyć przyspieszenie dla czasu [latex]t_1[/latex], a dostaniemy także wartość w czasie [latex]t_2[/latex]: [latex]a_s(t_1) = frac{v}{t_1}[/latex] Podstawiamy dane. Natomiast przyspieszenie normalne [latex]a_n[/latex], to innymi słowy przyspieszenie dośrodkowe, które wyraża się wzorem: [latex]a_n = a_d = frac{v^2}{r}[/latex] Różnica pomiędzy przyspieszeniem stycznym [latex]a_s[/latex] a przyspieszeniem normalnym [latex]a_n[/latex] jest taka, że przyspieszenie styczne odpowiada za faktyczne przyspieszenie ciała. Natomiast przyspieszenie normalne odpowiada za zmianę kierunku wektora prędkości tego ciała. To znaczy: w wyniku działania przyspieszenia stycznego zmienia się wartość prędkości ciała, a w wyniku działania przyspieszenia normalnego kierunek tej prędkości. [latex]r[/latex], to promień, którego nie znamy i nie będziemy go liczyć. Przyspieszenie normalne obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Dla czasu [latex]t_1[/latex] będzie wyglądało: [latex]a_n(t_1) = sqrt{g^2 - [a_s(t_1)]^2}[/latex] Wystarczy podstawić dane i zadanie zrobione.
