Weryfikacja hipotez statystycznych

1. Weryfikacja hipotez statystycznych
Hipotezą statystyczną nazywamy każdą taką hipotezę, która dotyczy bądź postaci rozkładu, bądź wartości parametrów rozkładu pewnej zmiennej losowej i która może być weryfikowana statystycznie, to znaczy w oparciu o wyniki zaobserwowane w próbie.
Testem statystycznym nazywamy każdą jednoznacznie zdefiniowaną regułę postępowania określającą warunki przy których należy weryfikowaną hipotezę przyjąć bądź odrzucić. Weryfikacja hipotez statystycznych odbywa się na podstawie wyników zaobserwowanych w próbie. W rezultacie test statystyczny podaje reguły, przy jakiego rodzaju wynikach próby sprawdzaną hipotezę się przyjmuje, a przy jakich odrzuca.
Weryfikowaną hipotezę nazywa się zwykle hipotezą zerową: H0
D e cy z j a
Hipoteza H0 Przyjąć H0 Odrzucić H0
Jest prawdziwa Decyzja poprawna Błąd I rodzaju. Prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu =

Jest fałszywa Błąd II rodzaju Decyzja poprawna

Wartość prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju - nazywamy poziomem istotności testu; najczęściej przyjmuje się = 0,05 , lub = 0,1.
Oprócz hipotezy zerowej formułujemy również hipotezę H1 ( hipotezę alternatywna), którą skłonni jesteśmy przyjąć, jeśli weryfikowaną hipotezę H0 należy odrzucić.
Sprawdzian hipotezy jest to pewna funkcja wyników z próby, na podstawie której decydujemy, czy można hipotezę H0 przyjąć, czy odrzucić. Przez obszar krytyczny rozumie się taki zbiór wartości sprawdzianu hipotezy, że jeżeli zaobserwowana wartość sprawdzianu znajdzie się w tym obszarze, to odrzuca się hipotezę H0 na korzyść H1. Prawdopodobieństwo tego, że sprawdzian przyjmie wartość należącą do obszaru krytycznego, jest przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 równe założonemu poziomowi istotności .
1. 1. Testy istotności dla wartości oczekiwanej (średniej)
Model 1. Załóżmy, że populacja generalna ma rozkład normalny N(m,) o nieznanej wartości średniej m oraz znanym odchyleniu standardowym . Z populacji tej wylosowano n elementową próbę w celu zweryfikowania hipotezy
H0: m = m0
wobec hipotezy alternatywnej H1: m  m0 ,
gdzie m0 jest pewną hipotetyczna wartością średniej w populacji.
Sprawdzianem hipotezy jest statystyka:
, (1)
która przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 ma rozkład normalny N(0, 1). Jeśli H0 jest prawdziwa, to wartość bezwzględna U nie powinna przekraczać wartości krytycznej u , odczytanej z tablic rozkładu normalnego przy ustalonym poziomie istotności .
Jeżeli odchylenie standardowe  w populacji generalnej nie jest znane, to we wzorze (1) można je zastąpić odchyleniem standardowym s obliczonym z próby. jest to uzasadnione tylko wtedy, gdy próba jest duża: n > 30.
Model 2. Dla małych prób losowych (n  30) do sprawdzania hipotezy
H0: m = m0 wykorzystujemy statystykę:
, (2)
gdzie .
Statystyka (2) przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 ma rozkład t Studenta o n-1 stopniach swobody.
1.2. Test istotności dla wariancji
Załóżmy, że populacja generalna ma rozkład normalny N(m,) o nieznanych parametrach wartości średniej m i odchyleniu standardowym . Z populacji tej wylosowano n elementową próbę w celu zweryfikowania hipotezy

wobec hipotezy alternatywnej , gdzie jest pewną hipotetyczną wartością wariancji w populacji.
Sprawdzianem hipotezy jest statystyka:
(3)
Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości H0 – rozkład 2 o n-1 stopniach swobody.




2.3. Test istotności dla wskaźnika struktury
Na podstawie n-elementowej próby (n>100) weryfikujemy hipotezę :
H0: p = p0
wobec hipotezy alternatywnej:
H1: p  p0 ,
Sprawdzianem hipotezy jest statystyka:
, (4)
która przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 ma rozkład normalny N(0, 1), przy czym X oznacza ilość jednostek o wyróżnionej wartości cechy w n-elementowej próbie.