I) stosunek długości boków prostokąta wynosi 2:3 szerokość prostokąta 2x długość prostokąta 3x ramka prostokąta ma obwód 2*2x+ 2*3x= 4x+ 6x = 10x II) obwód okręgu 2πr Wiemy, że długość drutu wynosi 10m, więc 10x + 2πr = 10 /:2 5x + πr = 5 5x = 5 - πr /:5 x = 1 - ⅕πr, gdzie promień 0 < r < 5/π III) Obliczamy pole prostokąta i koła: Pp= 2x*3x = 6x² Pk = πr² Suma pól P {za x wstawiamy 1 - ⅕πr}: P= Pp+ Pk = 6x²+ πr²= 6*(1 - ⅕πr)²+ πr²= 6*(1 - ⅖πr + ¹/₂₅π²r²) + πr² = 6 - ¹²/₅πr + ⁶/₂₅π²r² + πr²= r²(⁶/₂₅π²+ π) -¹²/₅πr + 6 Badamy minimum sumy pól P w zależności od r (promienia koła): P(r) = r²(⁶/₂₅π²+ π) -¹²/₅πr + 6 wierzchołek paraboli ma odciętą: r = -(-¹²/₅π)/2*[(⁶/₂₅π²+ π)] r = (¹²/₅π)/[2π(⁶/₂₅π+ 1)] r = (⁶/₅)/(⁶/₂₅π+ 1) r = 6/[5*(⁶/₂₅π+ 1] r = 6/(⁶/₅π+ 5) r = 30/(6π+ 25) obwód okręgu 2πr = 2π*30/(6π+ 25) = 60π/(6π+ 25) metrów obwód prostokąta 10 - [60π/(6π+ 25)]= 250/(6π+ 25) metrów spr. 60π/(6π+ 25) + 250/(6π+ 25) = (60π+ 250)/(6π+ 25)= 10*[(6π+ 25)/(6π+ 25)]= 10 Odp.Drut długości 10m należy podzielić na dwie części: 60π/(6π+ 25) metrów i 250/(6π+ 25) metrów, aby suma pól prostokąta i okręgu była najmniejsza.
