Szereg geometryczny.

Definicja. Jeżeli jest ciągiem geometrycznym, to ciąg określony wzorem:
nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu .
Definicja: Jeżeli szereg jest zbieżny do skończonej granicy, to tą granicę nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego i oznaczamy przez Zatem

Twierdzenie: Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy i ma wówczas sumę:
W pozostałych przypadkach szereg jest rozbieżny.
Przykład: Zamień ułamek okresowy 1, 3(2) na ułamek zwykły.
Ułamek okresowy 1, 3(2) możemy zapisać:
1, 3+0, 02+0, 02
Jeżeli pominiemy pierwszy składnik to zauważamy, że mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym, gdzie Zatem spełniony jest warunek zbieżności.
Możemy obliczyć sumę .
. Zatem
Rozwiąż równanie, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego:

Ponieważ lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego to musimy znaleźć oraz wyznaczyć takie liczby rzeczywiste aby spełniony był warunek zbieżności szeregu.
Zatem

więc dla
Dla równanie przyjmuje postać:
Ponieważ zarówno to równanie posiada dwa rozwiązania:

Dodaj swoją odpowiedź
Matematyka

Szereg geometryczny Sprawdz, czy szereg geometryczny jest zbieżny. Jeśli jest, to oblicz jego sumę. -125 -25 -5 -1 -...

Szereg geometryczny Sprawdz, czy szereg geometryczny jest zbieżny. Jeśli jest, to oblicz jego sumę. -125 -25 -5 -1 -......

Matematyka

Szereg geometryczny zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły a) 0,0(2) b) 1,3(6) Przypominam, że jest to SZEREG GEOMETRYCZNY.

Szereg geometryczny zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły a) 0,0(2) b) 1,3(6) Przypominam, że jest to SZEREG GEOMETRYCZNY....

Matematyka

Czy szereg geometryczny i nieskończony ciąg geometryczny to to samo? Proszę o uzasadnienie.

Czy szereg geometryczny i nieskończony ciąg geometryczny to to samo? Proszę o uzasadnienie....

Matematyka

Szereg geometryczny o początkowych wyrazach 1, 2x, 4^2, 8x^3 jest zbieżny dla x=? Prosze o rozpisanie zadania.

Szereg geometryczny o początkowych wyrazach 1, 2x, 4^2, 8x^3 jest zbieżny dla x=? Prosze o rozpisanie zadania....

Matematyka

Sprawdź, czy szereg geometryczny jest zbieżny. Jeśli jest, to oblicz jego sumę. a) [latex] sqrt{3} + 1+ frac{1}{ sqrt{3} } + frac{1}{3}+... [/latex] [latex]a_{1}= sqrt{3} \ q= frac{1}{ sqrt{3} } \ S= frac{a_{1}}{1-q} [/latex] Proszę o pomoc, odpowi

Sprawdź, czy szereg geometryczny jest zbieżny. Jeśli jest, to oblicz jego sumę. a) [latex] sqrt{3} + 1+ frac{1}{ sqrt{3} } + frac{1}{3}+... [/latex] [latex]a_{1}= sqrt{3} \ q= frac{1}{ sqrt{3} } \ S= frac{a_{1}}{1-q} [/latex] Proszę o po...