Hiperbola

Hiperbola, krzywa płaska (dwuwymiarowa), będąca złączeniem dwóch krzywych zwanych gałęziami hiperboli, równoważnie hiperbola może być zdefiniowana jako miejsce geometryczne punktów, dla których stosunek długości ogniskowej (odległość ognisk od siebie) i dł. osi hiperboli (odcinek łączący wierzchołki hiperboli) jest stały (większy od 1). Stosunek ten nazywa się mimośrodem hiperboli (oznacza się ?). Ogniska są to dwa ustalone punkty.
Prosta przechodząca przez ogniska jest jedną z osi symetrii hiperboli, miejsca przecięcia jej z hiperbolą są wierzchołkami hiperboli. Drugą osią symetrii jest prosta prostopadła do niej, dzieląca odcinek między wierzchołkami na połowy.
Jeżeli osie symetrii pokrywają się z osiami odciętych i rzędnych, to hiperbola dana jest równaniem: x2/a2-y2/b2=1, gdzie a jest połową odległości między wierzchołkami,

Natomiast c=?a, (c jest połową odległości pomiędzy ogniskami, ? to mimośród). Wtedy hiperbola ma dwie asymptoty (asymptota - prosta o tej własności, że gdy punkt wykresu funkcji oddala się nieograniczenie po wykresie, to jego odległość od tej prostej dąży do zera), dane równaniami: y=(b/a)*x, y=(-b/a)*x, natomiast proste x=a/? i x=-a/? są kierownicami (Kierownicą nazywamy prostą o następującej własności - stosunek odległości dowolnego punktu hiperboli od ogniska do odległości tego punktu od tej prostej jest stały nazywamy kierownicą). Hiperbole dane równaniami x2/a2-y2/b2=1 oraz x2/b2-y2/a2=1 nazywane są hiperbolami sprzężonymi. Hiperbola dla której a=b nazywa się równoosiową. Jeżeli osie symetrii hiperboli równoosiowej pokrywają się z prostymi y=x oraz y=-x (czyli z osiami układu współrzędnych), to hiperbola jest wykresem funkcji y=k/x (funkcji odwrotnej proporcjonalności, k - stała), asymptotą poziomą jest prosta y=0, asymptotą pionową jest prosta x=0 (czyli osie układy współrzędnych).
Istnieje trzecie równoważne określenie hiperboli, odwołuje się ono do konstrukcji geometrycznej polegającej na przecięciu stożka płaszczyzną (stożkowe krzywe). Hiperbola jest częścią wspólną pobocznicy stożka i przecinającej go płaszczyzny, powstaje, gdy płaszczyzna nie przecina stożka w punkcie wierzchołkowym oraz tworzy z osią symetrii stożka kąt mniejszy od połowy kąta wierzchołkowego stożka.