Dla ciągu arytmetycznego: 2 * a2 = a1 + a3 Dla ciągu geometrycznego: (a2)² = a1 * a3 1. a) Sprawdzamy czy ciąg jest arytmetyczny: 2 * 1/3 = -1 + (-1/9) 2/3 = -10/9 6/9 ≠ -10/9 Ciąg nie jest arytmetyczny. Sprawdzamy czy ciąg jest geometryczny: (1/3)² = -1 * (-1/9) 1/9 = 1/9 Ciąg jest geometryczny. q = a2/a1 = (1/3)/-1 = -1/3 2. a) Dla ciągu arytmetycznego: 2 * (-2) = 2x + 1 + 4 -4 = 2x + 5 2x = -9 x = -4,5 2x + 1 = -9 + 1 = -8 Ciąg wygląda wtedy następująco: -8 ; -2 ; 4 r = a2 - a1 = -2 - (-8) = -2 + 8 = 6 Dla ciągu geometrycznego: (-2)² = (2x + 1) * 4 4 = 8x + 4 8x = 0 x = 0 2x + 1 = 1 Ciąg wygląda wtedy następująco: 1 ; -2 ; 4 q = a2/a1 = -2/1 = -2 b) Dla ciągu arytmetycznego: 2 * (2x + 1) = -11 - 17 4x + 2 = -28 4x = -30 x = -7,5 2x + 1 = -15 + 1 = -14 Ciąg wygląda wtedy następująco: -11 ; -14 ; -17 r = a2 - a1 = -14 - (-11) = -14 + 11 = -3 Dla ciągu geometrycznego: (2x + 1)² = (-11) * (-17) 4x² + 4x + 1 = 187 4x² + 4x - 186 = 0 2x² + 2x - 93 = 0 Δ = 2² + 4 * 2 * 93 = 4 + 744 = 748 √Δ = √748 = √4*√187=2√187 x1 = (-2 - 2√187)/4 = -1/2*(1 + √187) ∨ x2 = (-2 + 2√187)/4 = -1/2*(1 - √187) 2x1 + 1 = -1 - √187 + 1 = -√187 Ciąg wygląda wtedy następująco: -11 ; -√187 ; -17 q = a2/a1 = (-√187)/-11 = (√187)/11 2x2 + 1 = -1 + √187 + 1 = √187 Ciąg wygląda wtedy następująco: -11 ; √187 ; -17 q = a2/a1 = -(√187)/11
1A) r = 1/3-(-1) = 1/3+1 = 4/3 r = -1/9 - 1/3 = -1/9 - 3/9 = - 4/9 4/3 ≠ -4/3 ciąg nie jest arytmetyczny [latex]q = frac{frac{1}{3}}{(-1)} = -frac{1}{3}\\q = frac{(-frac{1}{9})}{frac{1}{3}} = -frac{1}{9}*3 = -frac{1}{3}[/latex] Ciąg jest geometryczny gdyż q jest stałe. 2 Ciąg a, b, c jest arytmetyczny to: b = (a+c)/2 Jeżeli ciąg jest geometryczny to b² = a*c A) 2x+1, -2, 4 -2 = (2x+1+4)/2 -2 = (2x+5)/2 |*2 -4 = 2x +5 2x = -9 |:2 x = -9/2 = -4,5 2x+1 = 2*(-4,5) + 1= -8 Ciąg jest arytmetyczny dla x = -4,5 i wtedy wyrazy tego ciągu to: -8 , -2 , 4 (różnica r = 6) (-2)² = (2x+1)*4 4 = 8x + 4 8x = 0 x = 0 2x+1 = 2*0+1 = 1 Ciąg jest geometryczny dla x = 0 i wtedy wyrazy ciągu to: 1, -2, 4 ( iloraz q = -2) B)-11, 2x+1, -17 2x+1 = (-11+(-17))/2 2x+1 = -28/2 2x+1 = -14 2x = -15 |:2 x = -7,5 2x+1 = 2*(-7,5) +1 = -14 Ciąg jest arytmetyczny dla x = -7,5 i wyrazy ciągu to : -11 , -14 , -17 ( różnica r = -3) (2x+1)² = (-11)*(-17) 4x² + 4x + 1 = 187 4x² + 4x - 186 = 0 |:2 2x² + 2x - 93 = 0 Δ = 2² - 4*2*(-93) = 4 + 744 = 748 √Δ = √748 = 2√187 x1 = (-2-2√187)/4 = - (1+√187)/2 x2 = (-2+2√187)/4 = (√187-1)/2 2x+1 = -1-√187+1 = -√187 lub 2x+1 = √187-1+1 = √187 Ciąg jest geometryczny dla x = - (1+√187)/2 i ma wyrazy ciągu : -11 , -√187, -17 ( iloraz = √187/11) lub dla x = (√187-1)/2 i ma wyrazy ciągu : -11 , √187, -17 ( iloraz = -√187/11)
