matematyka rozszerzona prosze o rozwiaanie

[latex]oxed{5.223}[/latex] Mamy znaleźć wzór wielomianu stopnia trzeciego, zatem poszukujemy [latex]W(x)=ax^3+bx^2+cx+d;a ot=0[/latex] Z treści zadania wiemy, że: [latex]left{egin{array}{c} W(3)=0\W(4)=19\W(1)=-8\ W(-1)=-16end{array}[/latex] Tworzymy układ równań i rozwiązujemy go: [latex]left{egin{array}{l} 27a+9b+3c+d=0\64a+16b+4c+d=19\a+b+c+d=-8\ -a+b-c+d=-16 end{array}\ left{egin{array}{c} 27a+9b+3c+d=0\64a+16b+4c+d=19\a+b+c+d=-8\ a-b+c-d=16 end{array}\ (w_4+w_3):2\ left{egin{array}{l} 27a+9b+3c+d=0\64a+16b+4c+d=19\a+b+c+d=-8\ a+c=4 end{array}\ w_3-w_4\ left{egin{array}{l} 27a+9b+3c+d=0\64a+16b+4c+d=19\b+d=-12\ a+c=4 end{array}[/latex] [latex]left{egin{array}{l} 27a+9b+3c+d=0\64a+16b+4c+d=19\b=-12-d\ a=4-cend{array}\ left{egin{array}{l} 27(4-c)+9(-12-d)+3c+d=0\64(4-c)+16(-12-d)+4c+d=19\b=-12-d\ a=4-cend{array}\ left{egin{array}{l} 108-27c-108-9d+3c+d=0\256-64c+-192-16d+4c+d=19\b=-12-d\ a=4-cend{array}\ left{egin{array}{l} 3c+d=0\4c+d=3\b=-12-d\ a=4-cend{array}\ w_2-w_1\ left{egin{array}{l} 3c+d=0\c=3\b=-12-d\ a=4-3end{array}\ left{egin{array}{l} a=1\b=-3\c=3\d=-9\end{array}\ [/latex] Otrzymujemy: [latex]W(x)=x^3-3x^2+3x-9[/latex] [latex]b)[/latex] Symetria środkowa wykresu funkcji [latex]W(x)[/latex] względem punktu [latex]O=(0,0)[/latex] daje nam wykres funkcji [latex]F(x)=-W(-x),[/latex] zatem: [latex]-W(-x)=-((-x)^3-3(-x)^2+3(-x)-9)=\ =-(-x^3-3x^2-3x-9)=x^3+3x^2+3x+9=F(x)[/latex] [latex]oxed{5.210}[/latex] Rozważmy równanie wielomianowe postaci [latex]x^4+(m-3)x^2+m^2-m-6=0.[/latex] Chcemy aby powyższe równanie miało dokładnie dwa różne rozwiązania. Zastosujmy podstawienie [latex]x^2=tin [0,infty).[/latex] Nasze równanie przyjmuje wówczas postać [latex]t^2+(m-3)t+m^2-m-6=0.[/latex] Wprowadźmy oznaczenia: [latex]a=1\ b=m-3\ c=m^2-m-6[/latex] Zauważmy, że wyjściowe równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy równanie po zastosowaniu podstawienia ma dokładnie jedno rozwiązanie niezerowe. Warunek [latex]Delta=0[/latex] zagwarantuje nam dokładnie jedno rozwiązanie naszego równania (po podstawieniu). Zauważmy, że wówczas będzie ono postaci [latex]t=dfrac{-b}{2a},,[/latex] co przy naszych współczynikach [latex]a=1[/latex] oraz [latex]b=m-3[/latex] daje nam rozwiązanie postaci [latex]t=dfrac{3-m}{2}[/latex]. Zgodnie z założeniem rozwiązanie to musi być nieujemne, ponieważ [latex]t in [0;infty)[/latex]. Co więcej, musi ono być również niezerowe (zgodnie z wcześniejszym warunkiem równoważnym), zatem rozwiązanie to istotnie musi być dodatnie. Wobec tego [latex]t=dfrac{3-m}{2} extgreater 0Leftrightarrow 3-m extgreater 0Leftrightarrow m extless 3.[/latex] Zapiszmy zatem warunki zadania: [latex]left{egin{array}{l} Delta=0\m<3end{array}\[/latex] Rozwiążemy pierwszy warunek: [latex]Delta=b^2-4ac=(m-3)^2-4cdot 1cdot (m^2-m-6)=\ =m^2-6m+9-4m^2+4m+24=-3m^2-2m+33\ Delta=-3m^2-2m+33\ Delta=0\ -3m^2-2m+33=0vert cdot (-1)\ 3m^2+2m-33=0\ Delta_1=2^2-4cdot 3cdot(-33)=4+369=400\ sqrt{Delta_1}=sqrt{400}=20\ m_1=dfrac{-2-20}{6}=dfrac{-22}{6}=dfrac{-11}{3}=-3dfrac{2}{3}\ m_2=dfrac{-2+20}{6}=dfrac{18}{6}=3\ minleft{-3dfrac{2}{3},3 ight}[/latex] Otrzymaliśmy dwie możliwe wartości parametru [latex]m,[/latex] jednak tylko pierwsza z nich spełnia drugi warunek [latex]m extless 3,[/latex] wobec tego spełnienie warunków zadania jest możliwe jedynie dla [latex]oxed{m=-3dfrac{2}{3}}.[/latex]